Postoje li brojevi doista? Filozofija, povijest i formalna konstrukcija

iniciranje » kultura » Postoje li brojevi doista? Filozofija, povijest i formalna konstrukcija

Kada koristimo brojeve za određivanje vremena, plaćanje u supermarketu ili provjeru stanja na bankovnom računu, uzimamo ih zdravo za gotovo, kao da su stvarni poput ključeva od kuće. Ali ako pažljivo razmislimo, stvari postaju kompliciranije: U kojem smislu brojevi doista "postoje"?Jesu li oni nešto što otkrivamo, poput planeta, ili nešto što izmišljamo, poput likova u romanu?

Ova rasprava na prilično fascinantan način spaja filozofiju, povijest i matematiku. Kroz stoljeća predloženi su različiti odgovori: od onih koji vjeruju da su brojevi dio svojevrsnog "apstraktnog svijeta" neovisnog o nama, do onih koji tvrde da nisu ništa više od simbolički alati koje smo stvorili za brojanje, mjerenje i zaključivanje. Usput se pojavljuju ideje poput Peanovih aksioma, teorije skupova, formalne konstrukcije prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih, iracionalnih i realnih brojeva, pa čak i poznatih ograničenja koje je otkrio Gödel.

Što znači da broj "postoji"?

Prije nego što se udubimo u formule i aksiome, vrijedi razjasniti što uopće podrazumijevamo pod "postojanjem". Postojanje stola nije isto što i postojanje Sherlocka Holmesa ili postojanje... broj poput 24Stol je fizički objekt; Holmes je izmišljen, ali dobro definiran lik; s druge strane, broj 24 ne zauzima prostor, ne teži ništa i ne može se pohraniti u ladicu.

Jedan način pristupanja problemu, koji dolazi od Platona, tvrdi da su brojevi apstraktni entiteti koji žive u nefizičkoj domeniNisu napravljeni od materije, ali su "stvarni" poput pravde ili ljepote u Platonovoj filozofiji. Iz te perspektive, matematičari ne izmišljaju brojeve, već ih otkrivaju: broj 24 bio je "tamo" iako nitko nije pomislio na njega.

Drugi filozofi i matematičari tvrde nešto drugačije: brojevi bi radije simboli i konceptualne konstrukcije koje razvijamo modelirati svijet. Ne bi postojali izvan naših teorija i konvencija, iako bi, nakon što se ta pravila uspostave, matematički rezultati bili onoliko kruti koliko bismo željeli. U ovom pristupu, 24 je rezultat sustava simbola i operacija oko kojeg smo se dogovorili, a ne dio neovisnog matematičkog svemira.

Postoje i zanimljivi međuprijedlozi: neki autori tvrde da je broj vrsta apstraktni objekt s posebnim svojstvom da "kad bi mogao postojati, postojao bi"Drugim riječima, koncept samo treba biti moguć i dobro definiran da bi imao određenu vrstu logičkog ili matematičkog postojanja. Ovaj način govora omogućuje nam da uključimo ne samo brojeve, već i skupove, površine, funkcije, geometrijske figure i mnoge druge entitete koje svakodnevno koristimo u matematici.

Iz bilo koje od ovih točaka gledišta, temeljni problem je sličan: Po čemu se postojanje broja razlikuje od postojanja izmišljenog lika?Svi znaju što je broj 5 i svi znaju tko je Sherlock Holmes, ali im ne pripisujemo istu vrstu stvarnosti. Rasprava, daleko od toga da bude riješena, obično postavlja više pitanja nego što daje odgovora.

Brojevi, simboli i značenje: što je zapravo "2"?

Ako zanemarimo ono što uzimamo zdravo za gotovo i objektivno pogledamo brojke, prvo što vidimo je pisani simboli ili zvukovi kada se izgovore"2" koji pišemo na papiru, "dva" koji izgovaramo naglas ili rimski "II" nisu sam broj, već reprezentacije.

Simbol je sam po sebi jednostavan potez ili zvuk bez sadržaja. Ono što mu daje značenje je kolektivni dogovor: odlučili smo da ovaj potez predstavlja količinu, redoslijed, mjeruBaš kao i sa slovima abecede, koja sama po sebi ne znače ništa, već zajedno tvore riječi koje povezujemo s idejama, stvarima ili radnjama.

Ova simbolična perspektiva otkriva nešto važno: Nema ništa "magično" u konkretnom obliku brojevaMogli bismo koristiti potpuno različite simbole i sve dok se slažemo oko istih pravila i značenja, matematika bi i dalje funkcionirala. Zapravo, kroz povijest je postojalo mnogo brojevnih sustava, s potpuno različitim simbolima i pravilima, a ipak su svi služili za brojanje, mjerenje i izračunavanje.

Međutim, svakodnevna upotreba brojeva ide daleko dalje od pukog zapisivanja: Moć brojeva postaje očita kada radimo s njima.Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, potencioniranje… Sve te operacije omogućuju nam modeliranje stvarnih pojava: od dijeljenja torte do dizajniranja GPS navigacijskog sustava ili izračunavanja doze cjepiva.

Upravo zato što matematika podupire gotovo svu modernu tehnologiju, matematičari su bili prisiljeni, posebno od 19. stoljeća nadalje, s maksimalnom preciznošću definirati što su podrazumijevali pod "brojem"Nije bilo dovoljno jednostavno reći „to je ono što koristimo za brojanje“; bila je potrebna formalna definicija kako bi se izbjegle kontradikcije i omogućila izgradnja cijele teorije sa sigurnošću.

Postoje li beskonačni brojevi ili ni to nije tako jasno?

Jedno od najzagonetnijih pitanja kada se raspravlja o postojanju brojeva jest tema beskonačnostiNavikli smo reći da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva: 0, 1, 2, 3… i tako dalje. Ali ako to prihvatimo, postavljaju se neka neobična pitanja.

Na primjer: ako razmišljamo o "skupu svih brojeva" i želimo odabrati jedan "nasumično", koja je vjerojatnost da ćemo dobiti 5? Intuitivno, mogli bismo reći nešto poput 1 podijeljeno s beskonačnost, što bi izgledalo kao nulaA ako je vjerojatnost nula, netko bi mogao biti u iskušenju reći da se 5 "ne pojavljuje" u tom skupu, što zvuči apsurdno jer je 5 očito tamo.

Ova vrsta zaključivanja ilustrira sukob između svakodnevnih intuicija o beskonačnosti i rigorozan način na koji se vjerojatnost i beskonačni skupovi tretiraju u matematiciU teoriji mjere i vjerojatnosti, nešto što ima nultu vjerojatnost ne znači da je nemoguće; to jednostavno ukazuje na to da je, unutar beskonačnog kontinuuma, njegova "težina" zanemariva. Drugim riječima, ideja da "nulta vjerojatnost = ne postoji" nije točna u matematici.

Iz ovoga proizlazi još jedan, filozofskiji prijedlog: možda brojevi nisu "dani" kao potpuna beskonačnost, već Generiramo ih korak po korak, napredujući bez ograničenja, ali bez dosezanja konačne beskonačnostiDrugim riječima, brojevi bi bili potencijalno beskonačni (uvijek možemo nastaviti zbrajati 1), ali ne bi postojao "zbroj" svih njih kao nešto zatvoreno.

Ovaj stav povezuje se s pojmom prirodnih brojeva kao objekata koji se konstruiraju slijedom (0, zatim njegov sljednik, zatim sljednik sljednika i tako dalje), što nas vodi do poznatog Peanovi aksiomi teorija skupova kao formalna osnova moderne matematike.

Od ničega do nule: skupovi, prazan prostor i prirodni brojevi

Kako bi rigorozno konstruirali prirodne brojeve, mnogi matematičari 19. stoljeća oslanjali su se na zajednički jezik: Teorija skupovaIdeja je naizgled jednostavna: radimo sa "skupovima" (kolekcijama) i "elementima" (onim što pripada tim kolekcijama) i dajemo nekoliko osnovnih aksioma o tome kako se ponašaju.

Jedan od temeljnih aksioma je aksiom proširenja: Dva skupa su jednaka ako imaju potpuno iste elementeDruga, specifikacija, omogućuje nam formiranje podskupova iz uvjeta: za s obzirom na skup A i svojstvo T, postoji skup svih elemenata A koji zadovoljavaju T.

Pomoću ovih alata možemo definirati nešto ključno: prazan skup, što je skup koji nema elemenata. Može se predstaviti kao skup svih x u A takvih da je x ≠ x (nemoguć uvjet), tako da nitko ne ulazi u taj klub. Ovaj skup se obično naziva 0 i postaje temelj formalne konstrukcije prirodnih brojeva.

Odatle možemo "imenovati" prve brojeve kao određene skupove: prazan skup nazivamo 0, skup koji sadrži samo 0 nazivamo 1, skup koji sadrži i 0 i 1 nazivamo 2 i tako dalje. Svaki broj je konstruiran kao skup koji skuplja na sve gore navedene brojeveOvaj način kodiranja prirodnih brojeva (slično Fregeovom prijedlogu, a kasnije i von Neumannovom) omogućuje povezivanje reda "manje od" s uključivanjem skupova.

Za daljnji razvoj potrebna nam je aksiom unije: za danu kolekciju skupova postoji skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju barem jednom od njih. Također definiramo nasljednik skupa A jer je A+ = A ∪ {A}. To jest, dodajemo sam skup kao novi element, što nam omogućuje da idemo "gore" broj po broj.

Ovo uvodi koncept nasljedni skupSkup S je skup sljedbenika ako sadrži 0 i, kad god sadrži element A, sadrži i njegovog sljedbenika A+. Ključni aksiom kaže da postoji barem jedan skup sljedbenika. Ako uzmemo presjek svih mogućih skupova sljedbenika, dobivamo najmanji skup koji ih sve sadrži: upravo tu je skup sljedbenika "ugniježđen". prirodni brojevi, ℕ.

Peanovi aksiomi: osigurati da je 1 + 1 = 2 nije tako trivijalno

Nakon što identificiramo ℕ kao minimalni skup koji sadrži 0 i stabilan je po slijedu, možemo proučavati njegova svojstva. Giuseppe Peano je krajem 19. stoljeća formulirao vrlo sažet popis aksioma koji obuhvaća suština ponašanja prirodnih brojeva.

U tipičnoj verziji, počevši od 1 umjesto od 0, Peanovi aksiomi, u širem smislu, tvrde sljedeće: prvo, 1 je prirodni brojDrugo, svaki prirodni broj ima sljednika, koji je također prirodni broj. Treće, nijedan prirodni broj nema 1 kao svog sljednika (ili, u drugoj formulaciji, 0 nije sljednik nijednog prirodnog broja). Četvrto, ako skup prirodnih brojeva sadrži 1 i zatvoren je nizom, tada sadrži sve prirodne brojeve: ovo je princip indukcijePeto, ako dva broja imaju istog sljednika, tada su ta dva broja jednaka.

Ovi aksiomi, iako se čine formalnim i pomalo suhoparnim, obuhvaćaju ideje koje nesvjesno koristimo od djetinjstva. Na primjer, indukcija nam omogućuje da dokažemo svojstva tipa "svi prirodni brojevi zadovoljavaju X" dokazujući da X vrijedi za prvi A ako vrijedi za jedan broj, onda vrijedi i za njegovog sljedbenika. To je svojevrsni logički domino efekt.

Iz ovih aksioma izvode se osnovna svojstva prirodnih brojeva, kao što je Ne postoji broj čiji je sljedbenik 0ili da je operacija "nasljednika" injektivna (ako dva broja imaju istog nasljednika, oni su isti broj). Također nam omogućuju da okarakteriziramo ℕ kao jedini skup koji zadovoljava određene kombinirane uvjete sukcesije i indukcije.

Najzanimljivije je to što se, polazeći od ovog logičkog okvira i pojma nasljednika, može rigorozno konstruirati uobičajene aritmetičke operacijezbrajanje, množenje i potencije, te demonstrirati njihova klasična svojstva (komutativnost, asocijativnost, postojanje neutralnih elemenata itd.) bez pribjegavanja tvrdnji "intuitivno je tako".

Kako konstruirati zbroj, produkt i potencije nad ℕ

Nakon što prihvatimo Peanove aksiome i dobro definiramo skup ℕ, možemo se zapitati: kako točno definiramo operacije poput zbrajanja, a da ih ne uzimamo zdravo za gotovo? Za to koristimo vrlo moćan alat: Teorem o ponavljanju, što jamči postojanje i jedinstvenost određenih funkcija definiranih korak po korak na prirodnim brojevima.

Ideja je sljedeća: ako imamo skup X, početni element a u X i funkciju f: X → X, teorem osigurava da postoji jedinstvena funkcija u: ℕ → X takva da u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) za sve prirodne brojeve n. To jest, možemo konstruirati u primjenom f iznova i iznova počevši od a, i neće postojati dva različita načina da se to učini, a da se poštuje ta definicija.

Primjenjujući ovu ideju na prirodne brojeve, možemo definirati zbroj fiksnog broja m s bilo kojim n. Uzimamo X = ℕ, a = m i funkciju s: ℕ → ℕ koja preslikava svaki na u njegovog sljednika n+. Tada nam teorem o ponavljanju daje funkciju S_m: ℕ → ℕ, s S_m(0) = m i S_m(n+) = s(S_m(n)). Tu funkciju interpretiramo kao zbroj m + nTo jest, definiramo S_m(n) = m + n.

S ovom formalnom definicijom, nešto uobičajeno poput 1 + 1 postaje mali lanac primjena: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Nije stvar u tome da matematičari ne znaju da je 1 + 1 jednako 2, već žele opravdati zašto je, unutar aksiomatskog sustava, ta jednakost neizbježna.

Iz ove definicije može se dokazati svojstva poput toga da 0 djeluje kao jedinični element za zbrajanje (m + 0 = my, 0 + m = m za sve m), da je zbrajanje komutativni (a + b = b + a) i to je također asocijativni ((a + b) + c = a + (b + c)). Svi ovi dokazi oslanjaju se na princip indukcije i ponašanje sljednika.

Produkt se definira slično. Fiksiramo broj m, uzimamo funkciju P_m: ℕ → ℕ takvu da je P_m(0) = 0 i P_m(n+) = S_m(P_m(n)). P_m(n) interpretiramo kao m × nTako se, na primjer, 1 × 2 razvija kao P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Zatim se, ponovno koristeći indukciju, demonstriraju njegova svojstva: komutativnost, asocijativnost i da je 1 jedinični element produkta.

Potencije se konstruiraju sljedećim korakom: definiramo E_m: ℕ → ℕ s E_m(0) = 1 i E_m(n+) = P_m(E_m(n)), te pišemo E_m(n) = m^n. Iz ove definicije, identiteti kao što su m^(n + k) = m^n × m^k, opet uz pomoć principa indukcije i već dokazanih svojstava produkta.

Cijeli ovaj proces, iako formalan i donekle tehnički, ilustrira da građevina elementarne aritmetike nije "u zraku", već je poduprta nekoliko vrlo jasnih aksioma i nekoliko logičnih argumenataIz ove perspektive, "postojanje" prirodnih brojeva znači da postoji model (na primjer, skupovi konstruirani iz praznog skupa) koji zadovoljava te aksiome.

Od prirodnih brojeva do cijelih brojeva, racionalnih i iracionalnih brojeva

Nakon što su prirodni brojevi čvrsto utvrđeni, priča tu ne staje. Svakodnevni i znanstveni problemi prisiljavaju nas da proširite ovaj numerički svemirNa primjer, s prirodnim brojevima znamo samo brojati i zbrajati, ali ne i oduzimati općenito ili dijeliti.

Sljedeći korak je obično uvođenje cijelih brojeva, koji uključuju prirodne brojeve i njihove negativne verzije: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Povijesno gledano, razlomci su dolazili prije negativnih brojeva, ali s formalnog gledišta, prikladno je početi s cijelim brojevima. Cijeli broj može se definirati kao klasa ekvivalencije parova prirodnih brojeva (a, b), gdje dva para (a, b) i (c, d) smatramo ekvivalentnima ako je a + d = b + c. Intuitivno, to odgovara razmišljanju o "oduzmi" od − b, iako formalno to oduzimanje još ne postoji unutar ℕ.

Zatim racionalni brojeviTo odgovara razlomcima koje smo oduvijek poznavali. Koriste se za mjerenje količina koje nisu cijeli broj jedinica, kao što su pola kolača, trećina litre ili tri četvrtine sata. Racionalni broj se obično predstavlja kao a/b, gdje su a i b cijeli brojevi, a b ≠ 0. Formalno, svaki racionalni broj definiran je kao klasa ekvivalencije parova (a, b), pri čemu b nije jednak nuli, gdje su dva para (a, b) i (c, d) ekvivalentna ako a·d = b·cTo jest, ako predstavljaju isti omjer.

Pitagorejci su vjerovali da je "sve broj" u smislu "sve je racionalno", ali to je gledište uništeno kada je otkriveno da se dijagonala kvadrata s duljinom stranice 1 (kvadratni korijen iz 2) ne može zapisati kao razlomak cijelih brojeva. Kasnije je također pokazano da π i e su iracionalni brojeviTo jest, ne mogu se izraziti kao a/b s cijelim brojevima a i b.

Za rigoroznu konstrukciju iracionalni brojevi To je malo delikatnije. Elegantniji način da se to učini je putem poziva. Dedekindovi rezoviIdeja je razmotriti određene podskupove racionalnih brojeva koji imaju određenu gornju granicu. Na primjer, možemo uzeti skup svih racionalnih brojeva čiji je kvadrat manji od 2; njegov prirodni "rez" je √2, što nije racionalno. Na taj način, svaki prikladan rez može se promatrati kao realni broj, a neki od tih rezova ne odgovaraju racionalnim brojevima.

Kombiniranjem svih racionalnih brojeva i svih ovih rezova koji daju iracionalne brojeve, konstruiramo skup realni brojevi, ℝU ℝ žive svi brojevi koje koristimo za mjerenje kontinuiranih veličina: duljine, površine, vremena, brzine itd. Unutar realnih brojeva još uvijek su "ugrađeni" prirodni, cijeli i racionalni brojevi, svaki sa svojim specifičnim tumačenjem.

Kratki pregled povijesti brojevnih sustava

Pitanje postojanja brojeva nije samo apstraktno; ono se odražava i u povijesti o tome kako su različite kulture naučile brojanje i pisanje količinaNajraniji dokazi o numeriranju datiraju iz oko 7000. godine prije Krista, s oznakama i kostima koje su se koristile za jednostavno brojanje.

U starom Egiptu, za vrijeme Prve dinastije, razvijen je hijeroglifski decimalni brojevni sustav. Svaka potencija broja deset imala je svoj simbol, a oni su bili Elemente su grupirali u desetke.Koristio se za praktične zadatke poput izračunavanja poreza, mjerenja poljoprivrednih polja ili izgradnje hramova.

U Mezopotamiji su Sumerani, a kasnije i Babilonci, koristili seksagezimalni brojevni sustav, tj. baza 60Njegova složenost ležala je u velikom broju simbola i mogućih kombinacija, ali se pokazao izuzetno učinkovitim za astronomiju i mjerenje vremena. Zapravo, to nasljeđe i danas koristimo u satima, minutama i sekundama.

Grci su uzeli egipatsku bazu deset kao referencu i razvili sustav u kojem su koristili slova njihove abecede koja predstavljaju brojeveAtički sustav se, međutim, pokazao prilično krutim i donekle je ograničio razvoj napredne aritmetike, iako su Grci spektakularno blistali u geometriji i logičkim dokazima.

Rimski sustav, nama poznatiji, dodjeljivao je numeričke vrijednosti određenim slovima (I, V, X, L, C, D, M). Iako je izgledao jednostavnije od drugih, Nije bilo pozicijskoZbog toga je izvođenje kompliciranih izračuna bilo vrlo teško. Za nekoliko datuma na pročelju zgrade to je sasvim u redu; ne toliko za algebru.

Paralelno s tim, u Indiji se oko 5. stoljeća prije Krista pojavio decimalni i pozicijski sustav. U ovom sustavu vrijednost svake znamenke ovisi o njezinom položaju, a deset jedinica jednog reda ekvivalentno je jednoj jedinici sljedećeg višeg reda. Ovaj sustav, koji je eksplicitno uključivao nula kao brojPokazalo se nevjerojatno moćnim i praktičnim.

Arapi su, u kontaktu s kulturama poput hinduističke, grčke i egipatske, usvojili i proširili ovaj decimalni pozicijski sustav. Iako govorimo o "arapskim brojevima", u stvarnosti Njegovo porijeklo je u IndijiIslamski narodi su ga prenijeli u Europu, između ostalog, putem Al-Andalusa. S vremenom je ovaj sustav zamijenio rimske brojeve i postao svjetski standard.

U predkolumbovskoj Americi, majanska civilizacija razvila je izvanredno napredan numerički sustav, temeljen na broju 20 i također pozicijski. Nadalje, eksplicitno su prepoznavali nulu. Brojeve su predstavljali kombinirajući točke i trake: točke za jedinice i crte za grupiranje u petice. Njegovo rukovanje kalendarom i astronomijom bilo je zapanjujuće točno.

Cijeli ovaj povijesni pregled pojačava ideju da, iako se oblici i pravila mijenjaju, Potreba za brojanjem, mjerenjem i uređivanjem svijeta je univerzalna.Brojevi, u svojim raznim inkarnacijama, čini se da se pojavljuju iznova i iznova gdje god postoji civilizacija koja želi organizirati svoje iskustvo okoliša.

Granice sustava: Gödel i vjera u matematiku

Krajem 19. i početkom 20. stoljeća mnogi su matematičari nastojali matematiku pretvoriti u potpuno čvrsta građevina, oslobođena proturječnostiIdeja je bila pronaći konačan skup osnovnih aksioma iz kojih bi se svi ostali matematički rezultati mogli izvesti korištenjem čiste logike.

Ličnosti poput Henrija Poincaréa bile su skeptične i smatrale su ovu ambiciju nedostižnom, dok su drugi, predvođeni David HilbertBili su uvjereni da se savršen aksiomatski sustav može postići za aritmetiku, a time i za ostale grane matematike.

Tada se pojavio Kurt Gödel i dokazao dva teorema koja su zauvijek promijenila krajolik. Prvi tvrdi, uvelike pojednostavljujući, da u bilo kojem sustavu dovoljno snažnom da uključi osnovnu aritmetiku (na primjer, Peanovi aksiomi), uvijek će postojati istinite tvrdnje koje se ne mogu dokazati unutar samog sustava. Drugim riječima: aritmetika ne može biti i potpuna i konzistentna.

Gödelov drugi teorem je još više uznemirujući: pokazuje da ako je aksiomatski sustav poput aritmetičkog konzistentan (nema proturječja), tada Ta se dosljednost ne može dokazati unutar samog sustava.Kad bi netko dokazao da u matematici nema proturječja koristeći samo njezine aksiome i pravila, to bi, paradoksalno, značilo da sustav nije koherentan.

Ovi zaključci ponekad su tumačeni kao svojevrsna "kozmička šala": ako se toliko oslanjamo na matematiku kao ultimativni alat za znanje, moramo prihvatiti da, u određenom smislu, Također moramo vjerovati u nešto što ne možemo dokazati unutar samog matematičkog okvira."Postojanje" razumnog aritmetičkog sustava, bez proturječja, zahtijeva minimalni čin vjere.

Kada spojimo cijelo ovo putovanje - od simbola i Ishango kosti, preko Egipta, Babilona, ​​Indije i Maja, do teorije skupova, Peanovih aksioma, formalnih konstrukcija različitih vrsta brojeva i Gödelovih teorema - ono što vidimo jest da su brojevi, istovremeno, ljudski alati i iznenađujuće robusne struktureMožemo raspravljati o tome postoje li oni kao apstraktni entiteti ili kao sofisticirane konvencije, ali jasno je da oblikuju naše razumijevanje svemira i, na neki način, nas nadilaze: čak i kad bismo nestali, teško je zamisliti kozmos u kojem 1 + 1 više ne bi bilo 2.